Im Jahr 1946 wurde das Unternehmen von Willy Handrock gegründet. Zuvor war er als Speditionskaufmann bei der Firma „Flemmingen“ tätig. Konrad Kunze, der Schwiegersohn von Willy Handrock, war gelernter Tischler und Berufssoldat. Unter den damaligen politischen Umständen konnte er das Unternehmen nicht selbst gründen, weshalb Willy Handrock die Firma ins Leben rief. Die Firma übernahm zunächst die Personenbeförderung mit einem Pritschenwagen, an dem Pferde gespannt waren, sowie den Bahngütertransport (heute die Post).
Zwei PKW-Modelle, ein Ford und ein Eifel, wurden zu Transportfahrzeugen umgebaut. Die Firma übernahm die Paketbeförderung für etwa zwei Drittel der Naumburger Firmen (z.B. Schuhfabriken, Metallwarenhersteller), während der restliche Drittel vom „Krafterkehr“ bedient wurde.
Bis 1951 war der Firmensitz in der Roßbacherstraße, danach zog er in die Weißenfelser Straße 34 in Naumburg, wo er bis heute ansässig ist.
1968 übernahm Konrad Kunze das Unternehmen. Am 2. Februar 1974 trat sein Sohn, Kurt-Peter Kunze, die Nachfolge an. Kurt-Peter Kunze war bereits als Kind in der Firma tätig und wuchs praktisch mit dem Unternehmen auf. Unter seiner Leitung erweiterte sich der Fuhrpark. Etwa 1975 baute Kurt-Peter Kunze einen „Elo“ (ein Lastwagen) auf und erwarb zwei Lkw vom Typ W50. Die Firma übernahm in dieser Zeit auch Interzonenumzüge, bei denen Menschen, die aus der DDR in den „Westen“ umziehen wollten, mit der Bahn transportiert wurden (ca. 1956–1989). Der Bahntransport wurde etwa 1990 eingestellt, als der Güterbahnhof in Naumburg geschlossen wurde.
Kurt-Peter Kunze ging daraufhin für etwa ein Jahr zum Güterbahnhof in Weißenfels. 1992 gab er die Bahnaufträge ab und konzentrierte sich auf Schüttguttransporte. In diesem Zuge wurde ein „Tatra“-Kipper (später IVECO) angeschafft.
Am 1. Januar 2014 übernahm Ralf Kunze, der Sohn von Kurt-Peter Kunze, offiziell die Firma Spedition Handrock (die tatsächliche Übergabe erfolgte am 1. März 2014). Ralf Kunze hatte zuvor eine Ausbildung zum Speditionskaufmann bei der Firma Agroservice Mertendorf absolviert und war danach bei der Firma Förster als selbsständiger Fahrer tätig. 2006 gründete er sein eigenes Unternehmen im Bereich Transportservice und stieg 2012 schließlich in die Firma Spedition Handrock ein.
Das Unternehmen wuchs stetig, und das Aufgabengebiet erweiterte sich von Schüttguttransporten und Containertransporten bis hin zu Zuckerrübentransporten. Heute umfasst das Leistungsportfolio der Firma Containertransporte, landwirtschaftliche Transporte, Schüttgut- und Baustellentransporte. Am 1. Januar 2023 wurde die Firma in die „Spedition Handrock GmbH“ umfirmiert.